Nombres Carrés

Les nombres carrés forment la deuxième grande famille des nombres figurés , après les triangulaires. Ils s'obtiennent en disposant des points selon un motif carré régulier : 1 point, puis 4, puis 9, puis 16, puis 25, et ainsi de suite. Chaque rang donne à voir un carré plein où le nombre et la forme coïncident exactement.

Trois formules traduisent la même réalité sous trois angles distincts. La formule scolaire s'écrit C(n) = n² : tout nombre carré est le produit d'un entier par lui-même.

Mais les pythagoriciens connaissaient deux autres expressions, proprement géométriques celles-là. La première voit le carré comme l'assemblage de deux triangulaires consécutifs : C(n) = T(n) + T(n−1). La seconde décrit la croissance du carré comme une addition de nombres impairs successifs : C(n) = 1 + 3 + 5 + … + (2n−1).

Cette distinction sépare deux régimes de pensée : l' algèbre , qui manipule des quantités par opérations ; et l' arithmétique figurée , qui compose des formes par addition de parties. Là où n² ferme la question dans un symbole, T(n) + T(n−1) l'ouvre sur une généalogie — un carré n'est pas un nombre sui generis, il est l'union de deux triangles .

La construction figurée des nombres carrés procède par addition de deux nombres triangulaires consécutifs . La décomposition C(n) = T(n) + T(n−1) inscrit les carrés dans la même lignée que les triangulaires. Un carré ne se construit pas depuis rien ; il requiert deux rangs triangulaires successifs qui se prêtent l'un à l'autre.

Cette relation est une des identités fondamentales de l'arithmétique pythagoricienne : elle permet de passer d'une famille de nombres figurés à une autre par simple addition figurée, sans faire appel à la multiplication.

L' animation plus bas trace chaque carré progressivement — contour, lignes intérieures, puis pastilles aux intersections — jusqu'au cinquième rang (25).

Les trois premiers carrés

Nombres Carrés — gnomon

Considérons une matrice 9×9 . Elle contient 81 cases , chacune représentant une paire ordonnée (i, j) où i et j vont de 1 à 9. La diagonale principale — les neuf paires (1,1), (2,2) jusqu'à (9,9) — représente les paires d'un élément avec lui-même, que l'on retire du décompte. Il reste 81 − 9 = 72 paires . Ce sont les arrangements de deux éléments parmi neuf, notés A(9,2) : toutes les façons ordonnées d'associer deux éléments distincts.

Mais ces 72 paires comptent chaque couple deux fois : (3, 7) et (7, 3) sont deux arrangements différents qui désignent la même combinaison . En divisant par 2, on obtient 72 ÷ 2 = 36 , qui est le nombre de combinaisons de deux éléments parmi neuf, C(9,2). Chaque combinaison est une paire non ordonnée .

La matrice carrée offre donc une image parfaite de trois nombres solidaires : 81 le tout, 72 les arrangements, 36 les combinaisons. Et 36 est lui-même un nombre triangulaire — le huitième, T(8) — ce qui n'est pas un hasard : les combinaisons de deux éléments parmi n forment précisément la diagonale des nombres triangulaires dans le triangle de Pascal .

Parmi les problèmes antiques, celui du doublement du carré occupe une place singulière. Platon le met en scène dans le Ménon : Socrate interroge un jeune esclave sans instruction et lui fait découvrir, par la seule conduite de son raisonnement, que pour doubler l'aire d'un carré il ne faut pas doubler son côté — ce qui en quadruplerait l'aire — mais construire un nouveau carré sur la diagonale du premier.

Cette découverte est plus grave qu'elle n'en a l'air. Si le carré initial a pour côté 1, son aire vaut 1. Le carré doublé a pour aire 2, et son côté vaut donc √2 . Or √2 n'est pas un nombre rationnel : aucun rapport d'entiers ne peut l'exprimer exactement. La tradition rapporte que cette découverte, attribuée à Hippase de Métaponte , fut vécue par les pythagoriciens comme un scandale métaphysique — l'arithmos, principe de toute harmonie, cessait de suffire à mesurer la géométrie.

La quadrature prolonge ce problème en l'élargissant : construire un carré d'aire égale à celle d'une figure donnée, cercle compris. La célèbre quadrature du cercle — impossible à la règle et au compas, comme le démontrera Lindemann en 1882 — devient ainsi l'emblème des limites de la figuration rationnelle.

D'abord, la Matrice Archétype des Nombres , qui dispose les neuf nombres selon leur ordre naturel et leurs correspondances fondamentales. Chaque position y est doublement déterminée : par son rang de 1 à 9 et par sa place dans la grille — coin, côté, centre — selon trois niveaux emboîtés.

Ensuite, la Matrice Secrète des Nombres , qui extrait de cette disposition une structure plus restreinte, 1~3~6~9 , révélant la colonne vertébrale triangulaire-carrée-ennéadique du système.

Troisième référence, la table analogique et loi ternaire , qui articule les trois ordres Deus-Homo-Natura dans une grille de correspondances. La matrice 3×3 y sert de support opératif : chaque ligne et chaque colonne porte une qualité qui se croise avec les autres, ouvrant un champ de résonances entre Dieu, l'homme et la nature.

Quatrième, la planche à tracer des pythagoriciens et des maçons. Cette figure — quatre traits disposés en deux paires parallèles, deux horizontales croisées avec deux verticales, inscrites dans un cadre carré — matérialise la matrice 3×3 comme outil de traçage. Elle est sans contour à l'intérieur mais centrée dans son cadre, ordonnée sans être close.

La table à tracer ouverte des pythagoriciens, utilisée dans l'alphabet de Smyrne , est une matrice de projection du nombre dans l'espace : sans contour car infinie, centrée car ordonnée, elle organise le Verbe selon la loi du 9 .

il est au moins curieux de remarquer que le symbolisme maçonnique lui-même, dans lequel la « Parole perdue » et sa recherche jouent d'ailleurs un rôle important, caractérise les degrés initiatiques par des expressions manifestement empruntées à la « science des lettres » : épeler, lire, écrire. Le « Maître » qui a parmi ses attributs la « planche à tracer », s'il était vraiment ce qu'il doit être, serait capable, non seulement de lire, mais aussi d'écrire au « Livre de Vie », c'est-à-dire de coopérer consciemment à la réalisation du plan du « Grand Architecte de l'Univers ». — René Guénon, Symboles de la science sacrée